Was sind Messfehler und wie pflanzen sie sich fort? Zu dieser Fragestellung haben wir einige Informationen zusammengestellt.

Systematische Fehler | Zusammenfassung systematische Fehler | Zufällige Fehler | Fehlerfortpflanzung | Fehlerfortpflanzung systematischer Fehler | Fehlerfortpflanzung des mittleren Fehlers | Unsicherheitsabschätzung und max. Fehler

Im allgemeinen besteht ein Resultat eines physikalischen Experimentes nicht aus einer einzelnen Messgrösse. Es können verschiedene Fehler das Resultat verfälschen.

Wir möchten nun die Arten von Messfehlern unterscheiden.

Zuerst vorwegnehmen möchten wir die groben Fehler. Dazu zählen wir offenkundige Irrtümer, falsche Bedienung von Instrumenten, Fehlinterpretationen etc. Grobe Fehler können durch Sorgfalt und einfache Kontrollmassnahmen verhindert werden, daher möchten wir hier nicht weiter darauf eingehen.

Experimentelle Fehler lassen sich in zwei Arten einteilen: systematische Fehler (bei Wiederholung gleichbleibend) und zufällige Fehler (jedes Mal verschieden ausfallend).

Wir möchten nun auf beide Fehlertypen tiefer eingehen.

Systematische Fehler

Systematische Fehler können verschieden Ursprungs entstanden sein. Hier eine Liste einiger systematischer Fehlertypen:

Systematische Fehler können manchmal entdeckt und vermieden werden. Zur Überprüfung bieten sich beispielsweise folgende Methoden an: Überprüfen der Theorie: Genaueres Untersuchen der theoretischen Gegebenheiten und allfälligen Beschränkungen; Verändern der Messbedingungen: jene Parameter variieren, die nach der Theorie des Messvorgangs ohne Einfluss auf die Messgrösse sind; Wahl einer grundsätzlich anderen Methode; Korrekturen der erkannten Messfehler: Diese sollten aber nie mehr als 10% betragen!

Zusammenfassung der systematischen Fehler

- Ein Fehler heisst dann systematisch, wenn er bei Wiederholungen unter identischer Messbedingungen einen konstanten Wert besitzt.
- Der Gesamtfehler, d.h. die Summe der systematischen Fehler ist die Abweichung des besten experimentellen Wertes vom "wahren" Wert.

Zufällige Fehler

Aus Erfahrung ist die Reproduzierbarkeit von Messungen nie streng erfüllt. Die Abweichungen der Messwerte sind bedingt durch die zufälligen Fehler.

Um die zufälligen Fehler zu analysieren verwendet man meist Histogramme, wobei die Messwerte in Klassen eingeteilt werden. Damit lässt sich einfach die Häufigkeit und Verteilung der Fehler bestimmen. Zum Vergleich führte man die relative Häufigkeit ein (Beobachtungen in der Klasse/Total Beobachtungen).

Bei der Verteilung von zufälligen Fehlern ergeben sich verschiedene typische Verteilungsmuster, zB. die Gaussverteilung oder die Binominalverteilung, auf die wir aber nicht weiter eingehen wollen.

Fehlerfortpflanzung

Bisher haben wir nur von den Messfehlern einzelner gemessener Grössen gesprochen, von Fällen also, wo die Messung einer Grösse bereits zum gesuchten Ergebnis führt. In weitaus den meisten Fällen ist jedoch die gesuchte Grösse eine Funktion einer oder mehrerer Messgrössen. Wir untersuchen deshalb in den nächsten Abschnitten, wie sich die Fehler der gemessenen Grössen auf die gesuchte Grösse auswirken.

Man sollte bei der Fortpflanzungsrechnung 3 Arten unterscheiden: Fortpflanzung systematischen Fehler, Fortpflanzung des mittleren (zufälligen) Fehler und "die Unsicherheitsabschätzung und der max. Fehler". Wir behandeln die drei Methoden nun tiefer.

Fehlerfortpflanzung systematischer Fehler

Was systematische Fehler sind haben wir oben gelernt. Wir nehmen an, dass wir durch verschiedene unabhängige Messungen die Grössen  gemessen haben, die mit den Grössen  verfälscht sind. Gesucht ist die Grösse A, welche eine Funktion der N gemessenen verschiedenen Grössen  ist. Durch einige Umformungen und Beschränkungen kommt man dann auf das folgende Fortpflanzungsgesetz:

Damit kann der resultierende Fehler genau berechnet werden. Wir möchten nun einige Sonderfälle genauer anschauen: Die Grundoperationen.

Rechenregeln für systematische Fehler
Summe:	Für  gilt:
Differenz:	Für  gilt:
Produkt:	Für  gilt:
Quotient:	Für  gilt:

Zusatz: Grössen, die als Potzenzen im Ausdruck für A stehen, erhalten ein um die Grösse des Exponenten erhöhtes Gewicht.

Fehlerfortpflanzung des mittleren (zufälligen) Fehlers

Diese Methode ist mathematisch recht tiefgehend. Für statistische Auswertungen wird praktisch immer mit dieser Methode gearbeitet. Man rechnet unter anderem mit der Standardabweichung und bekommt sinnvolle Fehlerresultate. Da wir diese Methode aber noch nicht im Unterricht besprochen haben, gehen wir nicht tiefer darauf ein.

Die Unsicherheitsabschätzung und der max. Fehler

Oft wird der Aufwand zur Bestimmung des systematischen Fehlers umgangen und man begnügt sich mit einer Abschätzung der maximal möglichen Fehler.

Man kennt zB. die vom Hersteller angegebenen Eichgenauigkeit einer Schublehre. Sie wird als Toleranzmass, d.h. als obere Grenze angegeben und kann deshalb für eine Unsicherheitsabschätzung verwendet werden.

Unter dem Gesichtspunkt der Fehlerstatistik ist der Begriff der "Maximalfehler" und "Unsicherheitsabschätzung" schon fragwürdig. Da zudem diese Art der Fehlerbehandlung im allgemeinen die Genauigkeit zu pessimistisch erscheinen lässt, sollte sie für Experimente nicht verwendet werden, die einigermassen Anspruch auf Zuverlässigkeit auch in der Fehlerangabe erheben wollen.

Wir möchten trotzdem kurz auf diese Methode eingehen, da wir im Unterricht das Schwergewicht auf diese Methode legten. Wir rechnen mit dem maximalen absoluten Fehler und dem maximalen relativen Fehler.

Der absolute Fehler:
Der relative Fehler:

Rechenregeln für den maximalen Fehler
Summe und Differenz:	Für  gilt:
Produkte:	Für  gilt: und relativ:
Quotienten:	Für  gilt:
Potenzen:	Für  gilt:
Wurzeln:	Für  gilt:

Kommentar: Der Maximalfehler wächst damit also linear mit der Anzahl Summanden. Beim Rechnen mit dem statistischen Fehler nimmt er jedoch nur mit der Wurzel von n zu. Ein weiterer Grund mit dem statistischen Fehler zu rechnen ...

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