Als zweites Experiment wählten wir die Fallrinne. Wir führten Messungen durch und analysierten diese danach.

Über die Fallrinne | Der Messvorgang | Der Einfluss des Winkels | Der Einfluss der Masse | Die "wahre" Bewegung der Kugel | Mögliche Fehlerquellen

Über die Fallrinne als Untersuchungsobjekt

Die Fallrinne ist eine starre Rinne, die das Herabrollen einer Kugel auf einer schiefen Ebene geradlinig kanalisiert. Eine gute Rinne hat überall die gleiche Neigung, erzeugt sehr geringe Rollreibung und bewirkt eine gleichmässige Rotationssteigerung des Körpers mit zunehmender Geschwindigkeit.

Unser Interesse zielte auf die Kugel, welche die Rinne herunter rollte. Durch Messung der Zeit, die eine bestimmte Kugel bei bestimmten Neigungen der Ebene zum Herunterrollen benötigt, wollten wir unter anderem die Einflüsse der Neigung sowie der Masse der Kugel auf die Beschleunigung der Kugel erfassen und erklären.

Unsere Fallrinne in einer etwas moderneren Form. Wir arbeiteten mit einer Analoguhr und einem Taster als Auslöser.

Beachte auch unsere interessante Simulation der Fallrinne.

Der Messvorgang

Zuerst planten wir eine Messserie, die aus vier Teilen bestand. Wir liessen zwei verschiedene Kugeln bei zwei verschiedenen Neigungswinkeln die Ebene herunter rollen. Wir lasen die Analoguhr ab und kamen auf die folgenden Ergebnisse:

Daraus berechneten wir die Durchschnittszeiten und die Standardabweichungen:

Wir sahen dass die Neigung einen grossen Einfluss auf die Zeit hat, die die Kugel braucht, bis sie beim Taster angelangt ist. Je grösser der Winkel, desto schneller ist die Kugel beim Taster. Diese Folgerung wollten wir nun etwas weiter untersuchen.

Der Einfluss des Winkels auf die Zeit

Wenn man nun die Situation als reibungsfreie schiefe Ebene annähert und dort die Kräfte betrachtet, wird die obige Feststellung bewiesen. Als erste Kraft nahmen wir die Schwerkraft. Sie ist bei jedem Winkel gleich gross. Fs=m*g. Davon hängt die Hangabtriebskraft ab. Fhang=Fs*sin(phi) , wobei phi der Neigungswinkel ist. Je näher der Winkel nun bei 90° ist, desto grösser wird die Hangabtriebskraft. Dividiert durch die Masse der Kugel ergibt das nun deren Beschleunigung a=Fhang/m. Die Zeit folgt daraus mit t=sqrt(2*Strecke/a). Damit ist bewiesen: Je grösser der Winkel, desto kleiner die Zeit.

Es gibt 2 Extremsituationen. Die erste, wenn der Winkel 0° ist. In diesem Fall dürfte die Kugel nie beim Taster ankommen, da nur die Schwerkraft auf die Kugel wirkt (Fhang= 0N).
Die zweite Extremsituation ist bei phi=90°. Das entspricht dem freien Fall (Fhang=Fs).

Der Einfluss der Masse auf die Zeit

Wenn man die Messergebnisse der Zeit bei den zwei Kugeln vergleicht, erkennt man keine grossen Unterschiede. Bei beiden Neigungen unterscheidet sich das Mittel der Zeiten bei den zwei Kugeln nur um ca. 0.003 Sekunden. Diese Zeit ist minim und auf zufällige Messfehler zurückzuführen. Dies bestätigt auch die Tatsache, dass es erstens Überschneidungen gibt und zweitens beim kleinen Winkel die schwerere Kugel schneller ist, bei der grösseren Neigung aber die Leichtere.

Wir wissen, dass bei der reibungsfreien schiefen Ebene die Masse keinen Einfluss auf die Zeit hat. Die Schwerkraft wird zwar grösser, folglich auch die Hangabtriebskraft; die Masse kürzt sich aber beim Berechnen der Beschleunigung wieder heraus. Diese Feststellung dürfen wir aber nicht beweislos auf die Kugel übertragen, da deren Rotation die Bewegung verkompliziert.

Die "wahre" Bewegung der Kugel

Wir haben festgestellt, dass die Kugel in der Rinne länger braucht als in der Simulation der schiefen Ebene. Wir begründeten diese Tatsache mit dem sog. Massenträgheitsmoment und der Drehbewegung, welcher die Kugel ausgesetzt ist.

Um dieser Erkenntnis etwas auf den Grund zu kommen, versuchten wir die resultierende Beschleunigung der Kugel in der Rinne (K1) mit der Beschleunigung der Kugel auf der schiefen, reibungsfreien Ebene (K2) zu vergleichen.

Von K2 konnten wir praktisch alles berechnen. Die resultierende Beschleunigung von K2 berechneten wir mit a=g*sin(phi).

Bei K1 wurde es schon schwieriger. Wir nahmen aber an, dass die Beschleunigung konstant ist. So konnten wir sie aus Strecke und Zeit berechnen: a= 2*s/t^2. S und t haben wir in den Messserien bestimmen können.

Wir wollten nun den Faktor der Beschleunigung von K1 zu K2 berechnen.

k=(2*s/t^2)/(g*sin(phi))

Wir rechnen zuerst mit der Neigung 1 und der Kugel A:
k=71%

Neigung 1 und Kugel B:
k=71%

Wir erhielten beinahe die gleichen Werte. Den kleinen Unterschied führten wir am Anfang auf Messfehler zurück. Was bedeuten nun aber diese 71%? Die Ursache wird die Drehung der Kugel und deren Massenträgheitsmoment sein, zusammen mit der aber vernachlässigbaren Rollreibung. Wenn das stimmt, muss der Faktor aber auch bei einem Neigungswechsel konstant bleiben. Wir rechneten mit der Neigung 2:

Neigung 2, Kugel A:
k=72%

Neigung 2, Kugel B:
k=72%

Der Wert bleibt also konstant. Die kleinen Unterschiede wiesen wir Messfehlern zu.

Mit der nun gewonnen Erkenntnis konnten wir auch die Bewegung der Kugel in der Rinne ziemlich genau berechnen. Zur Illustration vier theoretische Zeit-Weg Diagramme:

Das Diagramm zeigt 4 Kurven. Es werden je zwei verschiedene Neigungen auf der schiefen Ebene sowie in der Rollrinne simuliert. A, die langsamste Simulation, stellt den Weg in der Fallrinne dar. Etwas schneller ist B mit der gleichen Neigung, aber in der schiefen Ebene. Dito C und D, hier wurde einfach eine grössere Neigung gewählt. Als Faktor nahmen wir 71.5% an.

Mit den jetztigen Informationen konnten wir die Beschleunigung beider Systeme berechnen:

Zum Schluss eine Eingrenzung des Gültigkeitsbereiches: Die Berechnungen in der Rinne gelten nur, wenn die Kugel rollt und nicht gleitet. Die Haftreibung muss genügeng gross sein. Es kann gezeigt werden, dass die Haftreibungskonstante grösser sein muss als tan(phi).

Mögliche Fehlerquellen

Zum Schluss möchten wir noch auf die möglichen Ursachen von Messfehlern eingehen. Siehe dazu auch "Messenfehler und Fehlerfortpflanzung".

Während dem Messvorgang fingen wir natürlich allerlei statistische (zufällige) Fehler ein. Das kann man an den Resultaten ablesen. Was uns hier aber besonders interessiert, sind die systematischen Fehler. Unser Experiment kann mancherlei systematische Fehler aufweisen. Hier eine kleine Auflistung:

Es gibt also eine breite Vielfalt von systematischen Fehlern bei der Fallrinne. Sie dürften sich aber nur in einem stark begrenzten Rahmen befinden.

Wir führen bei diesem Experiment bewusst keine rechnerische Fehleranalyse durch, da wir dies bereits im Experiment 1 tiefgehend durchgeführt haben. Wir setzten in diesem Experiment das Schwergewicht auf die Interpretation und Analyse des Verhaltens der Kugel, was dieses beeinflusst, etc.