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MA: Einführung Differentialrechnung

Begriffe

Differenzenquotient, Sekantensteigung

m_s = (F(x + h) – F(x)) / h

Differenzialquotient, Ableitung von f(x) an der Stelle x₀

Limit(m_s,h,0) = F’(x)

Differenzierbarkeit

Existiert limit(m_s, h, 0) = F’(x), so ist F(x) an der Stelle x differenzierbar (ableitbar).

Ist F(x) an jeder Stelle x des Definitionsbereiches differenzierbar, so ist f differenzierbar.

Keine Ecken, Sprünge, Einzelgänger; hinreichend für die Stetigkeit

Stetigkeit

Es gilt limit(F(x + h), h, 0) = F(x).

Keine Sprünge, Einzelgänger; notwendig für die Differenzierbarkeit

Ableitungsregeln

Konstante Funktion

F(x) = C
F’(x) = 0

Konstanter Summand

G(x) = F(x) + C
G’(x) = F’(x)

Konstanter Faktor

G(x) = C * F(x)
G’(x) = C * F’(x)

Produktregel

P(x) = F(x) * G(x)
P’(x) = F’(x) * G(x) + F(x) * G’(x)

[///]

Summenregel

S(x) = F(x) + G(X)
S’(x) = F’(x) + G’(x)

[///]

Reziprokwertregel

R(x) = 1 / F(x)
R’(x) = - F’(x)/(F(x))^2

[///]

Quotientenregel

Q(x) = F(x) / G(x)
Q’(x) = (F’(x) * G(x) - F(x) * G’(x))/(G(x))^2

[///]

Kettenregel

K(x) = G(F(x))
K’(x) = G’(F(x)) * F’(x)

[///]

Umkehrfunktionsregel

F^-1(F(x)) = x
F^-1’(x) = 1 / F’(x)

(F^-1(F(x)))’ = F^-1’(F(x)) * F’(x) = 1

Spezialregeln

Ableitung von LN

L(x) = ln(x)
L’(x) = 1 / x

[///]

Ableitung von E

L(x) = e^x = exp(x)
L’(x) = e^x = exp(x)

Exp’(x) = 1 / ln’(x) = x

Ableitung von sin(x) und cos(x)

F(x) = sin(x)
F’(x) = cos(x)
F’’(x) = -sin(x)

[///]

Ableitung von asin(x) und acos(x)

F(x) = asin(x)
F’(x) = 1 / cos(x) = 1 / sqrt(1 – x^2)
G(x) = acos(x)
G’(x) = 1 / -sin(x) = - 1 / sqrt(1 – x^2)

Extremstellen

Minima, Maxima

Maximum, falls F’(x) = 0 und Zeichenwechsel von F’(x) von + zu –

Minimum, falls F’(x) = 0 und Zeichenwechsel von F’(x) von - zu +

Ganzrationale Funktionen: Max n-1 Nullstellen, da a₀x⁰ entfällt.

Vorgang

Gegeben: F(x)
Ableiten: F’(x) und F’’(x)
F’(x) = 0 setzen -> Array der x-Werte
Alle x-Werte in F’’(x) einsetzen.
Wenn F’’(x) > 0 -> Tiefpunkt. END
Wenn F’’(x) < 0 -> Hochpunkt. END
Wenn F’’(x) = 0 -> Probe: Vorzeichenwechsel bei F’(x)?
Wenn – zu + -> Tiefpunkt. END
Wenn + zu - -> Hochpunkt. END
Sonst: Terrasse.
Hoch- und Tiefstellen in F(x) einsetzen -> T(/), H(/)

Wendepunkte

Bei der Stelle, bei der die Linkskurve in eine Rechtskurve übergeht, hat die erste Ableitung ein Maxima und umgekehrt. Diese Stelle wird Wendestelle genannt.

Linkskurve, falls die Steigungsfunktion y = F’(x) abnimmt, d.h. F’’(x) <= 0

Rechtskurve, falls die Steigungsfunktion y = F’(x) zunimmt, d.h. F’’(x) >= 0

Wendepunkt ó Extremum bei F’(x)

Wendepunkt => F’’(x) = 0 (nicht umkehrbar!)

Wendepunkt ó F’’(x) = 0 und Vorzeichenwechsel von F’’(x)