f: vr’ = x * va + y * vb + vc, d != 0
f: x’ = x * a1 + y * b1 + c1 | y’ = x * a2 + y * b2 + c2
Allgemeine Affinität = Verkettung einer Urspungsaffinität mit einer Translation
f: x’ = x + e1 | y’ = y + e2
f: x’ = k * x | y’ = k * y
f: x’ = x * cos(alpha) – y * sin(alpha) | x * sin(alpha) + y * cos(alpha)
f: x’ = x * cos(2*alpha) + y * sin(2*alpha) | y’ = x * sin(2*alpha) – y * cos(2*alpha)
Matrix aussen mal Matrix innen. Zeile mal Spalte. Reihenfolge wichtig!
f: x’ = x*(c1*a1+d1*a2)+y*(c1*b1+d1*b2) | y’ = x*(c2*a1+d2*a2)+y*(c2*b1+d2*b2)
Das Bild der Grundebene ist der Ursprung.
Das Bild der Grundebene ist eine Gerade durch den Ursprung.
Genau eine Linearkombination. Eineindeutig. Es existiert eine Umkehrabbildung (-> Einsetzen in Matrix).
D = a1*b2 – 12 * b1 kann nicht 0 sein, sonst wären a und b kollinear.
g: vr = vr0 + t * vu
g’: x’ = a1*x0 + b1*y0 + t*(a1*u1+b1*u2) | y’ = a2*x0 + b2*y0 + t*(a2*u1+b2*u2)
g’: vr’ = x0*va + y0*vb + t*(u1*va + u2*vb)
Gerade, da u1*va + u2*vb nicht 0 sein kann (sonst kollinear)
Muss so sein, da sonst Schnittpunkte ei der Umkehrfunktion nicht eindeutig wären.
nP1P2 = P1P3 => nP1’P2’ = P1’P3’
g: vr = vr0 + t * vu
g’: vr’ = x0va + y0vb + t*(u1va + u2vb)
P1P2 = (t2 – t1) * vu
P1P3 = (t3 – t2) * vu
(t2 – t1) * vu = n * (t3 – t2) * vu
vP1’P3’ = (t3 – t2) * (u1*va + u2 * vb)
vP1’P3’ = n * (t2 – t1) * (u1*va + u2 * vb)
vP1’P3’ = n * vP1’P2’