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MA: Affine Abbildungen

Regeln affiner Abbildungen

Gleichung der allgemeinen Affinität in der Grundebene

f: vr’ = x * va + y * vb + vc, d != 0

f: x’ = x * a1 + y * b1 + c1 | y’ = x * a2 + y * b2 + c2

Allgemeine Affinität = Verkettung einer Urspungsaffinität mit einer Translation

Translation um ve

f: x’ = x + e1 | y’ = y + e2

Streckung mit Zentrum 0 und Streckfaktor k

f: x’ = k * x | y’ = k * y

Drehen um 0 um Winkel alpha

f: x’ = x * cos(alpha) – y * sin(alpha) | x * sin(alpha) + y * cos(alpha)

Spiegelung an einer Gerade durch den Ursprung

f: x’ = x * cos(2*alpha) + y * sin(2*alpha) | y’ = x * sin(2*alpha) – y * cos(2*alpha)

Verkettung von Affinitäten

Matrix aussen mal Matrix innen. Zeile mal Spalte. Reihenfolge wichtig!

f: x’ = x*(c1*a1+d1*a2)+y*(c1*b1+d1*b2) | y’ = x*(c2*a1+d2*a2)+y*(c2*b1+d2*b2)

Spezielle Konstellationen

va = vb = 0

Das Bild der Grundebene ist der Ursprung.

va und vb kollinear, aber nicht v0

Das Bild der Grundebene ist eine Gerade durch den Ursprung.

va und vb nicht kollinear

Genau eine Linearkombination. Eineindeutig. Es existiert eine Umkehrabbildung (-> Einsetzen in Matrix).

D = a1*b2 – 12 * b1 kann nicht 0 sein, sonst wären a und b kollinear.

Invarianten der affinen Abbildung

Geradentreue

g: vr = vr0 + t * vu

g’: x’ = a1*x0 + b1*y0 + t*(a1*u1+b1*u2) | y’ = a2*x0 + b2*y0 + t*(a2*u1+b2*u2)

g’: vr’ = x0*va + y0*vb + t*(u1*va + u2*vb)

Gerade, da u1*va + u2*vb nicht 0 sein kann (sonst kollinear)

Parallelentreue

Muss so sein, da sonst Schnittpunkte ei der Umkehrfunktion nicht eindeutig wären.

Teilverhältnistreue

nP1P2 = P1P3 => nP1’P2’ = P1’P3’

g: vr = vr0 + t * vu

g’: vr’ = x0va + y0vb + t*(u1va + u2vb)

P1P2 = (t2 – t1) * vu

P1P3 = (t3 – t2) * vu

(t2 – t1) * vu = n * (t3 – t2) * vu

vP1’P3’ = (t3 – t2) * (u1*va + u2 * vb)

vP1’P3’ = n * (t2 – t1) * (u1*va + u2 * vb)

vP1’P3’ = n * vP1’P2’